Эпюра вала при кручении

Сопромат .in.ua

изучаем сопротивление материалов

Определение крутящих моментов и построение эпюры

Кручение стержня вызывается парами сил (сосредоточенными или распределенными), плоскость действия которых перпендикулярна продольной оси стержня. При кручении в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор – крутящий момент Mк.

Согласно методу сечений величина и направление крутящего может быть найдены из уравнения равновесия моментов относительно оси стержня, составленного для оставленной части. То есть, крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме моментов пар сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно продольной оси стержня.

Правило знаков для крутящих моментов.

Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он поворачивает сечение по ходу часовой стрелки и отрицательным — в противном случае.
При построение эпюры крутящих моментов положительные значения откладываются вверх от горизонтальной базовой линии, а отрицательные – вниз.

Это правило знаков условное и не совпадает с принятыми правилами знаков моментов, углов поворота в теоретической механике и математике, поскольку связано не с системой координат, а с видом деформации оставленной части.

Крутящий момент для сечения можно выразить так: $$M _к(x) = sum M _ <кi>+ sum int m _i(x)cdot dx$$

Распределенный крутящий момент m может быть постоянной или переменной интенсивности. Для постоянного распределенного момента m это выражение примет вид: $$M _к(x) = sum M _ <кi>+ sum m _i(x)cdot (x- L_) — sum m _i(x)cdot (x- L_)$$

где L и L – расстояние от начала координат до начала и до конца распределенного момента соответственно.

Дифференциальная зависимость внутренних усилий от распределенной нагрузки m:

Общий порядок расчета и построения эпюры.

  1. Намечаем характерные сечения стержня.
  2. Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.
  3. По найденным значениям моментов строим эпюру.

Построение эпюр крутящих моментов (пример)

Пусть прямолинейный стержень нагружен внешними сосредоточенными крутящими моментами Mкв1=-30кН·м, Mкв2=50 кН·м, и распределенным моментом m1=10кН. Реакции левой опоры можно не определять, т.к. в этом примере можно ограничиться рассмотрением лишь сил, приложенных к правым оставленным частям (справа от сечений).

1. Число характерных сечений — 6
Для заданного консольного стержня вычисления удобно вести, идя справа налево, начав их с 1–го сечения.

2. Проведем сечение 1. Определим крутящий момент в текущем сечении:

3. Проведем сечение 2. Отбросим левую часть, заменим ее действие крутящим моментом Mк2 и составим уравнение равновесия в моментах относительно оси бруса. Из уравнения равновесия получаем выражение для крутящего момента в сечении 2:

3. Проведем сечение 3, отбрасываем левую часть, составляем уравнение равновесия и получаем:

4. Аналогично для сечения 4:

5. Также для сечения 5:

6. Для сечения 6:

7. По полученным значения строим эпюру крутящих моментов (см. рис.).

Скачок на левом конце эпюры дает величину опорного момента (реактивного момента в заделке) Mк6, так как реактивный момент – это внутреннее усилие, действующее в поперечном сечении, где соединены торец стержня и заделка.

Правила контроля правильности эпюр крутящих моментов

Для эпюр крутящих моментов характерны некоторые закономерности, знание которых позволяет оценить правильность построений.

  • Эпюры крутящих моментов всегда прямолинейные.
  • На участке, где нет распределенных моментов, эпюра Mк – прямая, параллельная оси; а на участке с распределенными моментами – наклонная прямая.
  • Под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Mк будет скачок на величину этого момента.

Дополнительно

Еще один вариант построения эпюры крутящих моментов с использованием компьютера найдете на этой странице.

1 В технике употребляется терминология «винт с правой резьбой» или «винт с левой резьбой». На винт с правой резьбой гайка навертывается при вращении по часовой стрелке (т.е прикладываем положительный момент Mк ), а свинчивание гайки происходит при вращении влево (т.е прикладываем отрицательный крутящий момент ).

Научная электронная библиотека

Лекция 7. КРУЧЕНИЕ

Крутящие моменты (внутренний силовой фактор) в поперечных сечениях стержня. Кручение стержней круглого поперечного сечения: допущения, деформации, напряжения, углы закручивания. Условия прочности, жёсткости. Построение эпюр крутящих моментов.

Кручение имеет место в случае действия на вал момента (пары сил) относительно его продольной оси, и в поперечных сечениях бруса возникает только один силовой фактор – крутящий момент. Брус, работающей на кручение называется валом. При кручении вала его поперечные сечения поворачиваются друг относительно друга, вращаясь вокруг оси бруса.

Напряжения и деформации при кручении бруса. Под действием внешнего скручивающего момента, приложенного на правом конце бруса, левый конец которого жестко закреплен, брус будет закручиваться. Выделим из бруса элементарный цилиндр длиной dx (рис. 19). Будем считать, что левое сечение бруса жестко закреплено. Под действием крутящего момента T правое сечение повернется на некоторый угол dφ.Так как ds = γ•dx = ρ•dφ, то получаем . Из данной зависимости видно, что угол сдвига γ изменяется по радиусу вала по линейному закону.

Рис. 19. Расчетная схема при кручении

Деформация бруса при кручении характеризуется относительным углом закручивания .

При малых углах закручивания вала в теории кручения круглых стержней принимаются допущения:

1. Поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к его оси до деформации, остаются плоскими (не коробятся) и перпендикулярными к оси вала и после деформации (гипотеза Бернулли).

2. Радиусы поперечных сечений при деформации не искривляются и не изменяют своей длины.

3. Длина вала в результате закручивания не изменяется.

Поперечное сечение вала ведет себя при кручении, как жесткий диск, и деформацию кручения можно рассматривать, как результатсдвига одного поперечного сечения относительно другого. В этом случае в точках поперечного сечения вала возникают только касательные напряжения.

Теория кручения, основанная на упомянутых допущениях, подтверждается экспериментальными данными.

Согласно закону Гука при сдвиге, имеем . Откуда получаем:

Из полученной зависимости следует, что касательные напряжения изменяются по радиусу по линейному закону.

При кручении все внутренние силы, распределенные по поперечному сечению, приводятся к одной составляющей – к крутящему моменту. Касательные напряжения перпендикулярны радиусам, проведенные через точки их действия (рис. 20). Крутящий момент T в сечении бруса определяется по формуле

где ρ – плечо элементарной силы.

Подставляя значение касательного ускорения, получим

(8)

Элементарный угол закручивания бруса: полный угол закручивания

Максимальное касательное напряжение в поперечном сечении бруса будет определяться по зависимости:

Прочность и жесткость при кручении. Условие прочности при кручении имеет вид

(9)

Для бруса круглого сечения эти условия принимают вид:

Построение эпюр крутящих моментов. Крутящий момент, возникающий в поперечном сечении стержня, определяется методом сечений. Крутящий момент равен алгебраической сумме скручивающих моментов, приложенных к любой из частей стержня. Эпюра крутящих моментов – это график, показывающий изменения крутящего момента по длине вала. Правило знаков для эпюры крутящих моментов

При построении эпюры крутящих моментов используется правило знаков: скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня против хода часовой стрелки при взгляде на поперечное сечение, вызывает в этом сечении положительный крутящий момент.

Читайте также  Шумит подшипник первичного вала сколько можно ездить

Брус разбивается на участке, на каждом участке проводится сечение и определяется крутящий момент. Затем строится эпюра крутящих моментов.

Эпюра вала при кручении

Построение эпюр угловых перемещений при кручении.

Имея формулы для определения деформаций и зная условия закрепления стержня, нетрудно определить угловые перемещения сечений стержня и построить эпюры этих перемещений. Если имеется вал (т.е. вращающийся стержень), у которого нет неподвижных сечений, то для построения эпюры угловых перемещений принимают какое-либо сечение за условно неподвижное.

Рассмотрим конкретный пример (рис. 2.12, а). На рис. 2.12, б дана эпюра Тк.

Примем сечение в точке А за условно неподвижное. Определим поворот сечения В по отношению к сечению А.

По формуле (2.20) (см. здесь) найдем

где ТАВ — крутящий момент на участке АВ; lАВ — длина участка АВ.

Примем следующее правило знаков для углов поворота сечений: углы будем считать положительными, когда сечение поворачивается (если смотреть вдоль оси справа налево) против часовой стрелки. В данном случае будет положительным. В принятом масштабе отложим ординату (рис. 2.12, в). Полученную точку К соединяем прямой точкой Е, так как на участке АВ углы изменяются по закону прямой линии [см. формулу 2.19, в которую абсцисса сечения z входит в первой степени]. Вычислим теперь угол поворота сечения С по отношению к сечению В. Учитывая принятое правило знаков для углов закручивания, получаем

Так как сечение В не неподвижное, то угол поворота сечения С по отношению к сечению А равен

Угол закручивания может получиться положительным, отрицательным и, в частном случае, равным нулю.

Предположим, что в данном случае угол получился положительным. Тогда, отложив эту величину в принятом масштабе вверх от эпюры, получим точку М. Соединяя точку М с точкой К, получим графмк углов закручивания на участке ВС. На участке CD скручивания не происходит, так как крутящие моменты на этом участке равны нулю, поэтому там все сечения поворачиваются на столько же, на сколько поворачивается сечение С. Участок MN эпюры здесь горизонтален. Читателю предлагается убедиться, что если принять за неподвижное сечение В, то эпюра углов закручивания будет иметь вид, представленный на рис. 2.12, г.

Пример 2.1. Определить диаметр стального вала, вращающегося с угловой скоростью W = 100 рад/с и передающего мощность N = 100 кВт. Допускаемо напряжение = 40 МПа, допускаемый угол закручивания = 0,5 град/м, G = 80000 МПа.

Решение. Момент передаваемый валом, определяется по формуле

T = N/W = 100 000 / 100 = 1000 Н * м

Крутящий момент во всех поперечных сечениях вала одинаков

Tк = Т = 1000 Н * м = 1 кН * м = 0,001 МН * м.

Диаметр вала по прочности определяем по формуле (2.15)

По формуле (2.24) определяем диаметр вала из условия жесткости

Диаметр вала в данном случае определяется из условия жесткости и должен быть принят равным d = 52 мм.

Пример 2.2. Подобрать размеры сечения трубчатого вала, передающего момент Т = 6 кН * м, при соотношении диаметров с = d/D = 0,8 и допускаемом напряжении = 60 МПа. Сравнить вес этого трубчатого вала с валом равной прочности сплошного сечения.

Ответ. Размеры трубчатого вала: D = 9,52 см, d = 7,62 см. Плошадь сечения Ат = 25,9 квадратных см. Диаметр вала сплошного сечения d1 = 8 см. Площадь сечения Ас = 50,2 квадратных см. Масса трубчатого вала составляет 51% от массы сплошного вала.

5 Кручение. Построение эпюр крутящих моментов

5.1. Кручение. Построение эпюр крутящих моментов.

Стержень испытывает кручение, если в его поперечных сечениях возникают крутящие моменты. Обычно крутящие моменты возникают под действием внешних моментов TВ или сил, образующих моменты.

Вращающиеся и работающие на кручение стержни называют валами.

При изображении моментов используют плоское изображение в виде линий с двумя крожочками. В одном ставят точку, обозначающую начало стрелки (на нас), в дпугом крестик, обозначающий конец стрелки (от нас).

Для определения крутящих моментов TК, возникающих в сечениях вала под действием внешних моментов TВ будем применять метод сечений. Сделав сечение а-а, и отбросив левую часть стержня рассмотрим равновесие правой (рис. 2).

Взаимодействие частей стержня заменим крутящим моментом TС, уравновешивающим внешний момент TВ. Для равновесия отсеченной части необходимо, чтобы алгебраическая сумма всех моментов, действующих на нее была равна нулю, т.е. TВ = TК.

Рекомендуемые файлы

Для наглядного представления о характере распределения и величине крутящих моментов по длине стержня строим эпюры (графики) этих моментов. Построение их аналогично построению эпюр продольных или при растяжении или сжатии. Для построения эпюр необходимо условиться о правиле знаков. Примем, что крутящий момент в сечении а-а считается положительным, если внешний момент вращает отсеченную часть против часовой стрелки со стороны сечения.

Пример: построить эпюры крутящих моментов.

Получившаяся эпюра имеет вид прямоугольников. Важно заметить, что в местах приложениея внешних моментов ординаты эпюры скачкообразно изменяются на величину приложенного здесь внешнего момента.

6.2. Определение напряжений в сторонах круглого сечения.

Крутящие моменты о которых шла речь выше представляют лишь равнодействующие внутренние усилия. Фактически в поперечном сечении скручиваемого стержня действуют непосредственно распределенные внутренние касательные напряжения, к определению которых перейдем.

Нанесем прямоугольную сетку на поверхность стержня, то после деформации окажется

1. Прямоугольная сетка превратилась в параллелограмм, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечном сечении.

2. Расстояние между окружностями (между I и II) не изменяется. Не меняется длина стержня и его диаметр. Делается допущение, что каждое поперечное сечение поворачивается в своей плоскости на некоторый угол, как жесткое целое.

Угол сдвига для элемента KLMN равен

NN’ / dz ® gmax = r (dj/dz) (1)

Если обозначим r ¾ текущий радиус, можно записать

g = r (dj/dz) (2)

На основании закона Гука при сдвиге имеем

t = Gg = Gr (dj/dz) (3)

т.е. при кручении деформации сдвига и касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения.

Зная закон распределения касательных напряжений, можно определить их величину из условия, что крутящий момент в сечении представляет собой равнодействующий момент касательных напряжений в сечении.

где trdA ¾ элементарный крутящий момент внутренних сил, действующих на площадке dA.

Подставив в (4) (3) получим

TК = G(dj/dz)òAr 2 dA

Имея ввиду, что подинтегральное выражение

òAr 2 dA = Iр ¾ полярный момент инерции сечения

(dj/dz) = t / Gr

Как видно из этой формулы в точках одинаково удаленных от центра сечения, напряжения t одинаковы. Наибольшие напряжения в точках у контура сечения равны

Геометрическая характеристика Wр = Iр / r называется полярным моментом сопротивления или моментом сопротивления при кручении.

Для круглого сплошного стержня

Wр = Iр / r = pd 4 / (32d/2) = pd 3 / 16 » 0,2d 3

Для кольцевого стержня

Wр = Iр / (D/2) = p (D 4 -d 4 )/ 16D = (pD 3 /16) (1-c 4 ) » 0,2D 3 (1-c 4 )

Условие статической прочности вала при кручении имеет вид

Здесь [t] ¾ допускаемое напряжение на кручение.

При действии статической нагрузки принимают (без учета концентрации напряжений и других факторов, снижающих прочность)

Читайте также  Шлифовальный станок для шлифования валов

Кроме проверки на прочность по этой формуле можно также подбирать диаметр вала или определять допускаемый крутящий момент при известных других величинах. Имея ввиду, что для круглого сплошного сечения Wр » 0,2d 3 .

6.3. Деформации и перемещения при кручении валов.

При вычислении деформаций вала при кручении воспульзуемся формулой

Деформация вала по длине z (взаимный угол повороьа сечений) равна

Величина GIр называется жесткостью вала при кручении.

Если Tк и GI постоянны на всей длине вала, тогда

Угол закручивания, приходящийся на еденицу длины, называют относительным углом закручивания. Он равен

Для обеспечения требуемой жесткости вала необходимо, чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосходил допускаемого, т.е.

Эта формула выражает условие жесткости. Здесь [q] ¾ допускаемый относительный угол закручивания в радианах на еденицу длины вала. В большинстве случаев допускаемый относительный угол закручивания задают в градусах на 1 м длины, тогда

Угол [q] выбирают в зависимости от назначения вала и его размеров. Рекомендуемое для приборостроения [q] 4 , получаем

6.4. Построение эпюр угловых перемещений при кручении.

Имея формулы для определения деформаций и зная условие закрепления стержня нетрудно определить угловые перемещения сечений стержня и построить эпюры перемещений.

Примем сечение в (·) A за условно неподвижное.

Определим поворот B по отношению к A.

где TAB ¾ крутящий момент на участке AB.

lAB ¾ длина участка AB.

Прмем следующее правило знаков для углов поворота сечений: углы j будем считать положительными, когда сечение поворачивается (если смотреть вдоль оси справо-налево) против часовой стрелки. В данном случае jBA ¾ положительный. Получаем точку K и ее соединяем с E прямой.

Вычислим теперь угол поворота сечения C по отношению к B. Учитывая принятое правило знаков для углов закручивания, получаем

Так как сечение B не неподвижное, то угол поворота сечения C по отношению к A равен

jCA может иметь любой знак.

Предположим, что в данном случае jCA положительный. Тогда отложив одну величину в принятом мастабе вверх от оси эпюры получим график закручивания на участке BC. На участке CD скручивания не происходит, т.к. здесь крутящие моменты равны нулю. Поэтому там все сечения поворачиваются на столько же на сколько поворачивается сечение C. Участок эпюры здесь горизонтален.

6.5. Концентрация напряжений. Рацинальные формы сечений.

При резком изменении контура поперечного или продольного сечения вала возникает концентрация напряжений.

Обычно влияние концентрации определяется экспериментально и определяется коэффициентом концентрации.

Даются графики для определения коэффициентом концентрации.

Тогда, максимальное касательное напряжение для круглого стержня

где tн = Tк / Wр ¾ номинальное напряжение вычисленное по ?

Влияние концентрации напряжения учитывается:

а) для материалов, склонных к хрупкому разрушению

б) при действии переменных нагрузок

Для двух сечений с одним и тем же полярным моментом сопротивления, а значит и допускаемым крутящим моментом рациональным будет сечение наименьшей площадью. Т.к. отклонение Wр / A ¾ размерное, то для сравнения применяют безразмерную величину

Которая называется удельным моментом сопротивления при кручении.

Чем больше wp, тем рациональнее сечение.

Люди также интересуются этой лекцией: 9.0 Луганск в послевоенные годы.

При подборе сечений по жесткости в качестве критерия экономичности ? служит безразмерная величина

называется удельным полярным моментом инерции или удельной геометрической характеристикой крушильной жескости.

Вывод: необходимо широко применять трубчатые конструкции.

Техническая механика

Примеры решения задач по сопротивлению материалов

На этой странице приведен еще один пример решения задачи по Сопромату, в которой необходимо произвести расчет вала переменного сечения (ступенчатого), нагруженного крутящими моментами. По результатам расчетов необходимо подобрать размеры вала, а также определить максимальную деформацию вала на скручивание (угол закручивания).

Результаты расчетов оформлены эпюрами крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания бруса.

Студентам технических специальностей ВУЗов в качестве методической помощи предлагаются к скачиванию готовые варианты контрольных работ по сопромату (прикладной механике). Представленные задания и примеры их решения предназначены, в частности, для учащихся Алтайского Государственного технического университета.
Варианты контрольных работ можно скачать в формате Word для ознакомления с порядком решения заданий, или для распечатывания и защиты (при совпадении вариантов).

Расчет вала

Условие задачи:

К стальному валу, состоящему из 4-х участков длиной l1…l4 приложено четыре сосредоточенных момента М1…М4 (см. рис. 1 ).

Требуется:

Построить эпюру крутящих моментов Мкр , подобрать диаметр вала из расчета на прочность, построить эпюру максимальных касательных напряжений τmax , построить эпюру углов закручивания φ вала и определить наибольший относительный угол закручивания вала.

Исходные данные:

Длина участков, м:

Указания:

Вычертить схему вала в соответствии с исходными данными.
Знаки моментов в исходных данных означают: плюс – момент действует против часовой стрелки относительно оси Z , минус – по часовой стрелке (см. навстречу оси Z ). В дальнейшем значения моментов принимать по абсолютной величине.
Участки нумеровать от опоры.
Допускаемое касательное напряжение [ τ ] для стали принимать равным 100 МПа.

Решение:

1. Определим методом сечений значения крутящих моментов на каждом силовом участке от свободного конца вала.
Крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на вал по одну сторону сечения.

2. Подберем сечение вала из расчета на прочность при кручении по полярному моменту сопротивления для участка, где величина крутящего момента максимальная (без учета знака):

Так как для круглого сечения полярный момент равен: Wр = πD 3 /16 , то можно записать:

D ≥ 3 √ (16Мкр/π[τ]) ≥ 3(16×12,2×10 3 /3,14×[100×10 6 ]) = 0,0855 м или D ≥ 85,5 мм.

( Здесь и далее знак «√» означает квадратный корень из выражения )

В соответствии со стандартным рядом, предусмотренным ГОСТ 12080-66, принимаем диаметр вала D = 90 мм.

3. Определим угол закручивания для каждого участка вала по формуле:

где
G – модуль упругости 2-го рода; для стали G = 8×10 10 Па;
Ip – полярный момент инерции (для круглого сечения Iр = πD 4 /32 ≈ 0,1D 4 , м 4 ).
Произведение G×Iр = 8×10 10 ×0,1×0,094 ≈ 524880 Н×м 2 – жесткость сечения данного вала при кручении.

Расчитываем углы закручивания на каждом участке:

  • φI = -12,2×103×0,9/524880 = -0,0209 рад;
  • φII = -10,2×103×0,6/524880 = -0,0116 рад;
  • φIII = -7,1×103×0,9/524880 = -0,0122 рад;
  • φIV = -4,5×103×0,4/524880 = -0,0034 рад.



4. Определяем углы закручивания сечений вала, начиная от жесткой заделки (опоры):

5. Определяем максимальное касательное напряжение на каждом силовом участке по формуле:

  • τmaxIV = 5×-4,5×103/0,093 = -30864197 Па-30,086 МПа;
  • τmaxIII = 5×-7,1×103/0,093 = -48696844 Па-48,700 МПа;
  • τmaxII = 5×-10,2×103/0,093 = -69958847 Па-69,959 МПа;
  • τmaxI = 5×-12,2×103/0,093 = -83676268 Па-83,676 МПа.

6. Наибольший относительный угол закручивания Θmax определим по формуле:

7. По результатам расчетов строим эпюры крутящих моментов Мкр , касательных напряжений τmax и углов закручивания φ (см. рис. 2).